Vous posez là un problème épineux : votre femme a l'autorité parentale, comme vous.
Les extrémistes "pro-père" arguent de cet article de loi pour exiger la condamnation de la mère dans ce type de cas (mais défendent le père quand c'est lui qui le fait) :
Article 227-7 du code pénal
Le fait, par tout ascendant, de soustraire un enfant mineur des mains de ceux qui exercent l'autorité parentale ou auxquels il a été confié ou chez qui il a sa résidence habituelle, est puni d'un an d'emprisonnement et de 15 000 euros d'amende.
"chez qui il a sa résidence habituelle" or elle a aussi l'autorité parentale, et désormais la résidence habituelle est dans son logement.
Il faut des choses bien plus graves que ça pour qu'il y ait des suites pénales (prenez le cas de ce type qui a enlevé ses enfants pendant 15 ans, sans aucun contact avec la mère qui ne savait pas où étaient ses enfants, il n'a même pas pris de prison ferme et a gardé celui des enfants qui était encore mineur !)
Là où elle serait en infraction plus importante c'est si elle ne vous avait pas avisé de l'adresse de l'enfant.
Concernant le loyer à payer, votre ami devrait changer de marque de moquette. A partir du moment où le conjoint quitte le domicile conjugal, l'autre conjoint ne doit payer que si un juge décide d'une pension alimentaire (pour le conjoint en sus de la PA pour les enfants) jusqu'au divorce (la pension alimentaire pour un ex-conjoint ça n'existe plus depuis des années)