ass vacance locative pb avec assureurs/chgt d'assureur

Bjr. Problème assurance vacance locative.Chronologie des faits:Je suis copropriétaire d'1 appartement(Loi de Robien)depuis 2003.Le 24/06/2011: entrée d'un nouveau locataire Mr Paix.Mon mandataire de gestion locative, la Société Hesse, m'a fait adhérer depuis 2009 à l'assurance SA(assurance garantie loyer impayé + vacance locative: cotisation prélevée sur les loyers).Le 01/05/2012,mon mandataire de gestion HESSE m'annonce qu'à compter de cette date le nouvel assureur est la société AM et me demande d'adhérer.je le fais.
Au 30/06/2012,HESSE m'informe que mon locataire est parti et que je n'ai plus de locataire à compter de cette date. Par contre je n'ai pas la lettre de préavis du locataire (non fournie par HESSE). Au 1/11/2012, HESSE m'informe que j'ai un nouveau locataire MMe GEX.
Autrement dit, je n'ai pas eu de locataire pendant 4 mois (Juillet, août, septembre et octobre); Je pensais avoir droit à une indemnisation à raison de 3 mois de loyer (franchise 1 mois de loyer);
Le 25/02/2013, le mandataire HESSE dans 1 lettre m'annonce que je n'aurai droit à aucune indemnisation. Personne ne veut payer ni la société SA, ni la société AM; Hesse me propose même d'entamer 1 procédure judiciaire à mes frais contre les 2 assureurs.
Si j'ai bien compris,SA ne veut pas payer parce que leur collaboration cesse avec HESSE le 01/05/2012 et que mon locataire est parti le 30/06/2012. Et AM ne veut pas payer car mon locataire avait fait son préavis de départ avant qu'AM soit en piste.
Je trouve cette situation scandaleuse. Moi j'ai toujours payé mes cotisations d'assurance.En changeant d'assureur mon mandataire m'a mis dans le pétrin. Je suis assuré tout en ayant droit à aucune indemnisation. Mon mandataire HESSE me dit qu'il y a 1 vide juridique.La question est: Hesse a commis une faute en changeant d'assureur et me fait payer le prix de son erreur.Je ne me fais pas d'illusion: les assureurs ont leurs articles et ils seront inflexible; Autres Questions: 1)Puis je attaquer mon mandataire au tribunal d'instance( 3 mois de loyer= 1350 euros) vu le montant du litige. 2) Est ce gratuit? 3) Où attaquer? 4) Au lieu du siège social? 5) Ai je des chances de gagner? 6) dois je faire une mise en demeure à HESSE avant d'entamer 1 procédure?
PS: j'ai réussi à contacter l'assurance AM au téléphone. je leur ai dit qu'HESSE m'avait conseillé de les attaquer( à mes frais cependant); La dame de la société AM a paru étonnée et cela ne lui a pas plu du tout. Que dois je faire?.