Ce que vous évoquez s'appelle l'exécution provisoire qui est une mesure pouvant être ordonnée par le juge en première instance portant sur toute ou partie de la condamnation.
A noter que l'exécution provisoire concerne la condamnation en principal et non pas les dépens ni l'indemnité de procédure au titre de l'article 700 du Nouveau Code de Procédure Civile.
L'exécution provisoire reste donc une mesure laissée à l'appréciation des juges du fond exceptée en matière prud'homale; l'article R 1454-28 du Code du Travail précise ceci :
"Sont de droit exécutoires à titre provisoire :
1° Le jugement qui n'est susceptible d'appel que par suite d'une demande reconventionnelle ;
2° Le jugement qui ordonne la remise d'un certificat de travail, de bulletins de paie ou de toute pièce que l'employeur est tenu de délivrer ;
3° Le jugement qui ordonne le paiement de sommes au titre des rémunérations et indemnités mentionnées au 2° de l'article R. 1454-14, dans la limite maximum de neuf mois de salaire calculés sur la moyenne des trois derniers mois de salaire. Cette moyenne est mentionnée dans le jugement."
Enfin, si vos conditions de ressources ne permettent pas de faire face à une exécution provisoire ou si vous estimez que votre adversaire présente un risque de ne pas pouvoir vous rembourser au cas où l'appel vous serait favorable, sachez que vous avez la possibilité également de relever appel de l'exécution provisoire, mais il convient d'argumenter cette voie de recours par des éléments concrets et probants.
Espérant vous avoir apporté une réponse précise à votre question