l'urgence à mon avis est de démarrer la procédure de résiliation de bail et d'expulsion, à vos frais.
je vous conseille d'aller voir un huissier ou un avocat en lui signalant que vous aviez donner mandat de gestion locative à une agence assorti d'une assurance loyers impayés, que selon vos dire les conditions requises par cette assurance n'étaient pas remplies lors de la signature du bail.
Vous pouvez toujours envoyer une mise en demeure à l'agence immobilière reprenant l'historique et chiffrant votre préjudice, cela restera amiable.
Donc, vous serez obligé d'assigner en justice votre mandataire si vous n'obtenez pas satisfaction soit à ce stade soit après expulsion