Bonjour,
Concernant la baignoire, le bailleur n'a aucune obligation de la remplacer à ses frais par une douche. Vous pouvez lui proposer de faire à vos frais ces travaux, mais il n'est pas obligé d'accepter. Imaginez que le locataire suivant, lui, veuille une baignoire ! On ne va pas tout changer à chaque locataire ! Si ce problème est rédhibitoire pour votre mère, il faudra envisager de trouver un autre logement avec une douche.
Concernant la porte d'entrée, n'utilisez pas le terme "pas aux normes", cela ne veut rien dire. Une porte, tout comme le logement d'ailleurs, n'a pas à répondre aux normes actuelles, si tant est qu'il en existe pour les portes !
L'important est que cette porte assure bien le clos, critère du logement décent, donc qu'elle ferme bien et ne laisse pas passer la pluie ou le vent. Si elle est un peu trop facile à forcer, malheureusement, cela n'entre pas en ligne de compte. Elle doit pouvoir se verrouiller, c'est tout.
En revanche, si, comme vous dites, quand il pleut, elle reste coincée, là il s'agit bien d'un problème que doit résoudre le bailleur.
Pour le chauffage, il faut voir si cet appareil présente bien toutes les sécurités voulues et s'il fonctionne correctement. Votre mère le fait-elle bien entretenir une fois par an comme elle en a l'obligation ? Que dit le chauffagiste ?