Mon locataire part sans préavis et sans sa compagne

Bonjour,
Je suis bailleur d'un petit bien.
Mon locataire, qui est seul sur le bail, vient de m'informer par téléphone qu'il va quitter le bien dans un mois. Il ne m'a pas fait de courrier avec AR.
Par contre il m'a indiqué que sa compagne (non paxé ou marié) qui n'est pas sur le bail va rester dans le bien.
Celle ci à eu un enfant avec lui et n'a aucune ressource financière à part les APL et ne travaille pas.
Elle ne peut donc pas subvenir aux dépenses du bien, ni l'entretenir, ni payer les factures courantes(eau, électricité...) et tout juste subvenir à ses besoins principaux.
Mon locataire veut m'obliger à signer un avenant pour inclure sa compagne sur le bail mais je lui ai dit non car elle n'a aucune ressource financière.
Je sais que les temps sont durs mais ils le sont pour tout car moi aussi j'ai pas mal de créances sur le dos et je ne peux pas me permettre d'avoir mon bien qui ne soit pas payé...
Comment puis je faire pour récupérer mon bien pour le relouer rapidement?
Comment faire pour mettre fin au bail s'il me fait pas de courrier? Sachant que sa compagne sera toujours là et que cela ne pourra pas prouver qu'il n'y habite plus...
Dois je me baser uniquement sur les impayés et lancer une procédure d'expulsion?
Que puis je faire pour me sortir de ce bourbier car je sens que je vais avoir une personne qui va occuper mon bien sans payer durant des mois...
Merci par avance pour votre aide.
Laurent