Bonjour,
A titre de clareté, si votre employeur a mis un terme à votre essai, vous n'avez pas été "licencié".
La preuve des heures supplémentaires est libre mais pas toujours aisée. Vous devez, dans le cadre d'un procès, apporter un commencement de preuve sur le nombre d'heures supplémentaires effectuées. La Cour de cassation a admis qu'un décompte individuel au mois ou au jour effectué par le salarié vaut commencement de preuve. Il appartiendra alors à l'employeur de justifer de ces horaires.
Dans un premier temps, je vous conseille donc d'établir personnellement sur papier ce relevé des heures supp. effectuées.
Pour répondre à votre question, votre employeur n'a pas l'obligation de vous fournir un historique de vos mails professionnels et de vos appels téléphoniques. Il n'a pas non plus l'obligation de les garder, de sorte qu'il peut tout effacer.
Il vous reste toutefois une possiblité.
Une fois que vous aurez établi par écrit votre relevé d'heures supplémentaires, accompagné d'explication sur l'organisation du travail au sein de la société, vous pouvez saisir avant tout procès et en référé, dans le cadre de l'article 142 du Code de procédure civile, le Conseil de prud'hommes afin qu'il ordonne à l'employeur la production de ces pièces essentielles qui prouveraient vos heures supplémentaires.
Si possible, essayez d'obtenir une attestation de l'un de vos collègue (toujours en poste, mais cela me semble difficile, ou ayant quitté l'entreprise, vous aurez plus de chance).
Faites vous aider par un syndicat, qui a tout pouvoir pour agir en justice en votre nom et gratuitement, dans cette démarche.
Pour préserver l'effet de surptise et éviter l'effacement de ces données, il conviendra de saisir le Conseil de prud'hommes sans conclusions écrites (la procédure étant orale) et de formuler vos demandes à l'oral (en envoyant votre relevé à votre employeur, une fois le CPH saisi, afin de respecter le principe du contradictoire).
Le procédé ci-dessus décrit peut paraître complexe mais il ne l'est pas en réalité, d'où la nécéssité de vous faire aider par des professionnels qui ont l'habitude du procès prud'homal.
Enfin, si jamais le CPH ne faisait pas droit à votre demande en référé, vous n'aurez plus qu'à tenter votre chance avec votre relevé individuel, mais la partie risque de s'avérer très sérrée.
Par ailleurs, vous évoquez un "forfait 39 h". Il me paraît opportun de vérifier la validité de ce forfait avec un syndicat (ou à un avocat spécialisé en droit du travail si vous en avez les moyens) car tout dépassement de la durée hebdomadaire de 35 heures obéit à des règles de validité très strictes. Peut-être que ce "forfait" n'est pas légal, de sorte que vous pourrez même obtenir le paiement des heures effectuées au-delà des 35 heures.
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Cordialement.