differend sur un contrat de cfp

Bonjour, pouvez-vous m'informer sur qques points avant une prise en charge plus approfondie si nécessaire?

-J'ai approuvé et signé un "contrat" en début d'année en vue d'une inscription à une formation continue (sous réserve de prise en charge de financement) dans un établissement privé.
-Je n'ai pas reçu de retour signé et daté par l'établissement.
-le contrat prévoit un délai de rétractation à partir d'une signature mais ne précise pas laquelle (la mienne ou celle de la direction).
-l'établissement me signale plus tard que mon dossier est incomplet et me renvoie un contrat avec cachet et signature afin que je confirme mon engagement.
-Je n'ai pas donné suite et j'ai conservé le document.
-Je n'ai pas engagé de demande de prise en charge.
-Depuis, je suis engagé dans une autre formation (autre étblissement).
-L'établissement concerné par la première demande réclame l'intégralité du prix de la formation en cas d'annulation.

Je pense que le service a perdu le premier document que j'ai signé et m'a demandé de confirmer sur un autre document.
Pour moi il n'y a pas de contrat.

Ma question:
Y a t-il effectivement un lien contractuel qui m'obligerais à payer ces frais?

Merci pour votre patience et votre compréhension

Bonne continuation et bonne journée.